3x3 큐브의 경우의 수 구하기

3x3x3 큐브의 구성은 다음과 같다.

• 6개의 센터 조각

• 12개의 엣지 조각

• 8개의 코너 조각

코너 조각에는 3색, 엣지 조각에는 2색, 센터 조각에는 1색이 붙어 있다. 큐브는 '색깔'의 움직임이 아닌 '조각'의 움직임이다. 또한, 센터 조각의 '상대적인 위치' 는 변하지 않는다.

큐브를 맞추려면

1. 코너의 위치

2. 엣지의 위치

3. 코너의 방향

4. 엣지의 방향

이 네 개를 알맞게 해야 한다. 센터 조각은 색깔의 기준점으로 할 거라서 맞춘다고 하지 않았다.

큐브의 성질

큐브에는 성질이 있다.

큐브는 "90도 돌리는 것" 이외의 동작은 없다. 180도를 돌려도, 90도 돌리는 것 을 2번 한 것일 뿐이다.

그래서 "90도 돌리는 것" 을 들여다보면 된다.

코너 조각의 방향

코너 조각의 위치가 맞을 때는, "방향이 맞다" 라고 할 수 있는 상태는 말 그대로 맞춰진 상태다. 그런데, 위치가 안 맞을 때도 "방향이 맞다" 를 정의해야 한다.

지금 하는 것은 성질을 알기 위한 것이므로, 가능한하나의 상태를 정의하면 된다.(나중에 설명 추가하겠다..)

흰색/노란색을 기준으로 하겠다. 흰색을 가진 코너가 흰색 센터와 맞닿은 위치에 있을 때는, 흰색이 센터 방향을 보면 맞는 방향이다. 노란색을 가진 코너가 흰색 센터와 맞닿은 위치에 있을 때는, 노란색이 흰색 센터 방향을 보면 맞는 방향이다. 반대의 경우도 그렇게 정한다.

그렇게 따지면, 큐브를 90도 돌려보자. 코너 조각이 시계방향으로 ⅓ 돌아갔으면 +1, 반시계방향으로 돌아갔으면 -1 이라고 하자. R(right) 면을 시계방향으로 돌렸다고 하자.

URF(Up Right Front)코너부터 시계방향으로, -1 +1 -1,+1 이다.

그러므로, 코너 조각의 상태를 모두 더하면 짝수가 된다.

엣지 조각의 방향

코너 조각과 마찬가지로, 엣지가 자기의 위치에 안 있을 때의 "맞는 방향"을 정의하겠다.

흰색/노랑 색깔이 있는 엣지 조각의 경우, 노랑이나 흰색 센터의 면에 있으면, 흰색/노랑 색깔이 센터 방향으로 향하면 맞는 방향이다.

흰/노가 있는 엣지 조각이 2층에 있다면, 파랑 혹은 초록 쪽으로 흰/노가 배치되면 맞는 방향이다.

흰/노가 없으면 파/초 는 있다. 흰/노가 없고 파/초 가 있는 엣지 조각의 경우, 1층이나 3층에 있으면 흰색센터나 노랑센터, 2층에 있으면 파랑/초록 센터 쪽에 파랑/초록이 있으면 맞는 방향이다.

R 을 해보면, RU조각부터 맞음, 맞음, 맞음, 맞음이다. U,L,D 도 모두 엣지 조각이 틀려지지 않는다.

F 를 하면, FU조각부터 틀림,틀림,틀림,틀림 이다. B 도 마찬가지이다.

엣지 조각의 방향은 4개씩 바뀐다. 그러므로, 엣지조각의틀린 조각은 짝수이다.

조각의 위치

코너 조각과 엣지 조각 중에서, 한 부분(두 조각)은 위치가 정해진다. 위치에 관해서도 불가능한 상황이 존재한다. (나중에 이유 추가하겠다. )

계산

$$2^{11} \times 3^{7} \times {}_{12}P_{11} \times {}_{8}P_{6} =43252003274489856000$$

이다. 파이썬으로 계산해 보았다.

알던 내용이었지만, 실제로 계산해보니 재미가 있다.